|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: De wortel van -81
Hallo, ik heb de volgende vraag gekregen:
Functie f(x) = sin(x/2), op het interval [0, $\pi$]. We moeten de reekssom van de volgend numerieke bepalen, steunend op de fouriercosinusreeks van f met periode 2·$\pi$ : sum((-1)··k / (2·k+1)3,k=1..infinity).
Ik geraak niet verder bij de uitwerking van de reeks. De fouriercosinusreeks die ik heb gevonden is:
4/$\pi$ + 2/Pi · sum( (-4/($\pi$·(4·n2-1)) · cos(n·t) , n = 1..infinity)
Volgens mij hoort de n-waarde bij deze reeks Pi te zijn. Wanneer ik dit uitwerk zie ik dat ik (4·n2 - 1) kan ontbinden in zijn dubbel product maar dan raak ik niet verder.
Kunnen jullie mij helpen? Dankuwel!
Antwoord
Ik heb een iets andere cosinusreeks gekregen: $$ \frac2\pi-\frac4\pi\sum_{n=1}^\infty\frac1{4n^2-1}\cos nx $$ Ik zie echter niet hoe je hier (redelijk eenvoudig) de som van de gegeven reeks mee kan bepalen. Het kan met een andere functie een stuk eenvoudiger: neem $g(x)=f(\pi-x)$ en bepaal zijn sinusreeks op $[0,\pi]$. Met partiële integratie zul je uitkomen op $$ \int_0^\pi f(\pi-x)\cdot\sin nx\,\mathrm{d}x=\frac{2(1-(-1)^n)}{n^3} $$ Als je nu de reeks netjes uitwerkt en aan het eind $x=\frac12\pi$ invult krijg je je uitkomst.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|